Sferă.html

Acest articol se referă la . Pentru vedeţi Sferă (dezambiguizare).

O sferă.

Sfera (din greacă σφαίρα - sphaira) este subrafaţa unei bile. În spaţiul euclidian 3-dimensional, sfera este mulţimea punctelor care se află la o distanţă r (raza sferei) de un punct c (centrul sferei), unde r este un număr real pozitiv. În cazul particular în care r=1 sfera se numeşte sferă unitate.

În limbaj colocvial, noţiunea de sferă se foloseşte adesea pentru un corp geometric mărginit de sferă. În limbaj matematic un astfel de obiect se numeşte bilă.

modifică Ecuaţii în R³

În goemtria analitică sfera de centrul c=(x₀, y₀, z₀) şi rază r>0 este locul geometric al punctelor care satisfac ecuaţia (implicită)

$\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.$

Dacă considerăm metrica euclidiană din R³ atunci ecuaţia de mai sus nu inseamnă altceva decât că toate punctele sferei se află la aceaşi distanţă r de punctul c.

emisferă

Considerând un sistem ortonormat de coordinate, sfera (ca suprafaţă 2-dimensională) poate fi exprimată prin ecuaţiile parametrice

$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \varphi \; \sin \theta \\ y = y_0 + r \sin \varphi \; \sin \theta \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \text{ si } 0 \leq \theta \leq \pi ) \\ z = z_0 + r \cos \theta \end{cases}$

Pentru fiecare valoare a parametrului θ se obţine un cerc de pe sferă - astfel de cercuri se numesc paralele. Asemănător, pentru parametrul φ se obţin cercuri numite meridiane. Pentru θ=0 respectiv θ=π cercurile obţinute sunt degenerate - aceste două puncte sunt polul nord (x₀, y₀, z₀ + r) respectiv polul sud (x₀, y₀, z₀ - r).

Pentru o sferă cu raza r>0 aria suprfeţei este

$A = 4 \pi r^2 \,$

iar volumul este

$V = \frac{4}{3}\pi r^3.$ .

modifică Proprietăţi

Prin secţiuni plane ale sferei se obţin cercuri

Dacă se consideră un plan tangent la sferă se obţine un cerc degenerat, adică un punct.

Toate Geodezicele sferei sunt drumuri închise

Geodezicele sferei sunt cercurile mari, adică cercurile obţinute din secţiuni cu plane care conţin centrul sferei.

Dintre toate solidele cu un volum dat, bila are cea mai mică arie a suprafeţei

Pentru o arie dată, sfera de acea arie înconjoară cel mai mare volum.

Sfera este invariată de grupul rotaţiilor

Considerând o sferă cu centrul în origine, grupul rotaţiilor SO(3) transformă sfera în ea însăşi.

modifică Generalizări

Având în vedere spaţiul ambient al sferei, cât şi noţiunea de distanţă se pot obţine următoarele generalizări

Sfera Sⁿ din spaţiul euclidian (n+1)-dimensional Rⁿ⁺¹ de centru c=(c₁, c₂,..., c_n+1) şi rază r este mulţimea punctelor din Rⁿ⁺¹ care satisfac ecuaţia

$\, (x_1 - c_1 )^2 + (x_2 - c_2 )^2 + ... + ( x_{n+1} - c_{n+1} )^2 = r^2.$ .

Într-un spaţiu metric oarecare (X,d) sfera de centru c şi rază r este

$\{x\in X:d(x,c)=r\}$ .

Într-un spaţiu topologic oarecare, o n-sferă este o submulţime a spaţiului omeomorfă cu Sⁿ pentru un număr natural n.

modifică Legături externe

Puteţi găsi mai multe informaţii despre Sferă prin căutarea în proiectele similare ale Wikipediei, grupate sub denumirea generică de „proiecte surori”:

Definiţii din Wikţionar
Manuale de la Wikimanuale
Citate de la Wikicitat
Texte sursă de la Wikisursă
Imagini şi media de la Commons
Ştiri de la Wikiştiri