Continuum (przestrzeń metryczna).html

Ten artykuł dotyczy pojęcia używanego w matematyce. Zobacz też: Continuum - instrument muzyczny.

Spis treści

1 Topologia
- 1.1 Przykłady
- 1.2 Twierdzenie
2 Teoria mnogości
3 Zobacz też

Continuum (z łac. ciągłość) - pojęcie używane w matematyce do oznaczania przestrzeni, poniższe rozumienia tego pojęcia nie wykluczają się, choć położony w nich nacisk służy innym celom.

edytuj Topologia

W topologii mianem continuum określa się przestrzeń topologiczną, która jest jednocześnie zwarta i spójna.

edytuj Przykłady

Continuum są m. in.

odcinek domknięty,
okrąg, koło, kwadrat, sześcian – z brzegiem.

Nie jest continuum

odcinek, z którego usunięto jeden lub więcej punktów wewnętrznych (brak spójności) lub
kwadrat bez brzegu (brak zwartości).

Poniższe twierdzenie pozwala podawać dalsze przykłady continuów.

edytuj Twierdzenie

Obraz niepustego continuum przez funkcję ciągłą jest continuum.

Wynika stąd w szczególności, że wykres dowolnej funkcji ciągłej zmiennej rzeczywistej, określonej na przedziale domkniętym jest continuum.

edytuj Teoria mnogości

W teorii mnogości natomiast przez continuum, oznaczane gotyckim „c” – $\mathfrak c$ lub hebrajskim „bet” z indeksem „1” – $\beth_1$ , rozumie się moc zbioru liczb rzeczywistych. Mówimy więc, że zbiór $X$ jest mocy continuum, jeśli $X$ jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.