Keplers lover for planetenes bevegelser.html

Illustrasjon av Keplers tre lover med to planeter i omløp. (1) Banene er ellipser, med fokuspunkt f1 og f2 for den første planeten og f1 og f3 for den andre planeten. Solen er plassert fokuspunktet f1. (2) De to skyggelagte segmentene A1 og A2 har den samme overflaten, og tiden det tar for planet 1 å dekke segmentet A1 er lik tiden det tar å dekke A2. (3) Den totale omløpstiden for planet 1 og planet 2 har forholdet

a 1 3 / 2 : a 2 3 / 2

Keplers lover for planetenes bevegelser er Johannes Keplers viktigste bidrag til astronomi og astrofysikk. Kepler (1571–1630) var en tysk matematiker. Han studerte planetariske observasjoner gjort av den legendariske danske astronomen Tycho Brahe, og fant omkring 1605 at disse observasjonene fulgte tre forholdsvis enkle matematiske lover. Den fysiske forklaringen på planetenes bevegelser kom imidlertid ikke før nesten 100 år senere, da Isaac Newton i sitt verk Principia viste hvordan Keplers lover kunne utledes fra hans bevegelseslover og gravitasjonsteori ved hjelp av matematisk analyse.

Lovene er

Planetenes baner er ellipser med sola i det ene brennpunktet.
Baneradiene sveiper over like store flater på like lange tider.
Forholdet mellom kvadratet av omløpstiden og middelradien i tredje potens er det samme for alle planeter.

Innhold

1 Matematisk beskrivelse

rediger Matematisk beskrivelse

rediger Første lov

Keplers første lov

Den første loven sier: «Planetenes baner er ellipser med sola i det ene brennpunktet»

En ellpise framstilles matematisk som følger:

Ligningen er

$r=\frac{p}{1+\epsilon\cdot\cos\theta}$

hvor (r,θ) er heliosentriske polare koordinater for planeten, p er semi latus rectum, og ε er eksentrisiteten, som for en ellipse er mellom 0 og 1.

For θ=0 er planeten ved sitt perihelion (nærmest solen) ved minimumsavstanden:

$r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\epsilon}$

for θ=90°: r=p, og for θ=180° er planeten ved sitt aphelion (lengst fra solen) ved maksimumsavstanden:

$r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\epsilon}$

den store halvaksen er det aritmetiske gjennomsnittet mellom r_min og r_max:

$a=\frac{p}{1-\epsilon^2}$

Den lille halvaksen er det geometriske gjennomsnittet mellom r_min and r_max:

$b=\frac p{\sqrt{1-\epsilon^2}}$

og det er også det geometriske gjennomsnittet mellom den store halvaksen og semi latus rectum:

$\frac a b=\frac b p$

rediger Andre lov

Keplers andre lov.

Den andre loven sier: «Baneradiene sveiper over like store flater på like lange tider.»

Denne loven er også kjent som loven om like områder.

Om vi antar at en planet bruker en dag på å bevege seg fra punkt A til B, vil linjene fra solen til A og B utgjøre en vinkelsektor. Keplers andre lov sier at arealet av denne vikelsektoren vil være like stort som arealet av sektoren som dannes mellom solen og C og D, dersom det også tar en dag for planeten å bevege seg fra C til D.

Planeten beveger seg altså raskere jo nærmere den er solen. Dette skyldes at solens gravitasjonsfelt akselererer planeten når den beveger seg mot solen, og bremser farten når den beveger seg bort fra den. Kepler kjente imidlertid ikke til denne fysiske forklaringen av fenomenet, han bare observerte fenomenet og beskrev det matematisk.

De to lovene ga Kepler muligheten til å beregne posisjonen til en planet ut fra tiden siden perihelion, t, og omlpstiden P. Beregningen gjøres i fire trinn.

1. Beregne mean anomaly M fra formelen

$M=\frac{2\pi t}{P}$

2. Beregne eccentric anomaly E ved å numerisk løse Keplers ligning:

$\ M=E-\epsilon\cdot\sin E$

3. Beregne true anomaly θ gjennom ligningen:

$\tan\frac \theta 2 = \sqrt{\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}}\cdot\tan\frac E 2$

4. Beregne den heliosentriske avstanden r fra den første loven:

$r=\frac p {1+\epsilon\cdot\cos\theta}$

The proof of this procedure is shown below.

rediger Tredje lov

Tredje lov: "Forholdet mellom kvadratet av omløpstiden og middelradien i tredje potens er det samme for alle planeter."

$T^2 \propto a^3$

T

= omløpstid

a

= middelradius

Omløpstiden øker mer enn proporsjonalt ved økende avstand, fordi farten også blir mindre. Gangestykket T²a^–3 ha samme verdi for alle planeter i Solsystemet som for Jorden. Hvis man måler T i sideriske år og a i astronomiske enheter, vil T²a^–3 ha verdien 1 for alle planeter i Solsystemet.

Nedenfor er et bevis for at Keplers tredje lov gjelder for sirkelbaner:

Loven om sentripetalakselerasjon i sirkelbevegelse:	Newtons tyngdelov:
$a_s = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2r}{T^2}$	$G = \frac{\gamma Mm}{r^2} \Rightarrow g = \frac{\gamma M}{r^2}$

Sett tyngdeakselerasjonen lik sentripetalakselerasjonen...

$\frac{\gamma M}{r^2} = \frac{4\pi^2r}{T^2}$

...og vips trer Keplers tredje lov fram.

$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{\gamma M}$

tegnforklaring:

a_s = sentripetalakselerasjon

g = tyngdeakselerasjonen

γ

= gravitasjonskonstanten

M = massen til objektet det sirkles rundt, i planetenes tilfelle Solen

r = en konstant avstand til objektet det sirkles rundt, i planetenes tilfelle Solen

Beviset for at Keplers tredje lov gjelder for alle ellipser er mer komplisert.